Geometria Diferencial 2 Problemes

Llicenciatura de Matemàtiques Facultat de Matemàtiques i Estadística

Departament de Matemàtica Aplicada IV Universitat Politècnica de Catalunya

primavera del 2006 (revisió: 21 maig 2006)

Sumari

1 Varietats diferenciables 1 2 Vectors tangents i cotangents 5 3 Subvarietats i aplicacions 7 4 Els fibrats tangent i cotangent 9 5 Equacions diferencials i fluxos 13 6 Camps tensorials 16

1 Varietats diferenciables

Problemes bàsics

1. Sigui {(U_{j}, φ_{j})}_{j=1,2} l’atles de S_{n} donat per les projeccions estereogràfiques des dels pols. Calculeu l’expressió explícita (en coordenades de ℝ^{n+1} o ℝ^{n}) de les aplicacions φ_{1}, (φ_{1})^{−1}, φ_{2}, (φ_{2})^{−1}. Comproveu que φ_{2} ∘ (φ_{1})^{−1}(x) = x/∥x∥^{2} per a tot p ∈ ℝ^{n} − {0}.

2. A S_{1} es consideren els atles:

(a) {(U_{j}, φ_{j})}_{j=1,2}, on

φ_{1}^{−1}: ]0, 2π[ → U_{1} = S_{1} − {(1, 0)}, φ_{2}^{−1}: ]−π, π[ → U_{2} = S_{1} − {(−1, 0)}

estan definides per φ_{j}^{−1}(t) = (cos t, sin t).

(b) {(V_{j}, ψ_{j})}_{j=1,...,4}, on V_{1} = {(x, y) ∈ S_{1} | x > 0}, V_{2} = {(x, y) ∈ S_{1} | y > 0}, V_{3} = {(x, y) ∈ S_{1} | x < 0}, V_{4} = {(x, y) ∈ S_{1} | y < 0} i ψ_{1}(x, y) = y = ψ_{3}(x, y), ψ_{2}(x, y) = x = ψ_{4}(x, y).

(a) Proveu que ambdós donen estructura diferenciable a S_{1}.

(b) Compareu aquestes dues estructures, entre sí i amb la donada per la projecció estereogràfica.

3. Es recorda que un subconjunt M ⊂ ℝ^{n} es diu subvarietat (de classe C^{∞}) si, per a cada punt x ∈ M, existeixen un obert U de ℝ^{n} contenint x, i un difeomorfisme de classe C^{∞} ψ: U → V, tals que ψ(U ∩ M) = V ∩ (ℝ^{m} × {0}) = T.

(a) Proveu que la restricció de ψ, considerada com a aplicació ψ_{o}: U ∩ M → T ⊂ ℝ^{m}, és una carta de M.

(b) Proveu que aquestes cartes defineixen sobre M una estructura de varietat diferenciable.

4. Proveu que l’estructura diferenciable de S_{2} definida per les projeccions estereogràfiques i la que té com a subvarietat de ℝ^{3} coincideixen.

5. Sigui M = f^{−1}(0) ⊂ ℝ^{2}, on f: ℝ^{2} → ℝ és l’aplicació definida per f(x, y) = (x^{2}/4) − y^{2} + y^{4}. Considerem en M la topologia induïda per la de ℝ^{2}. És M una subvarietat diferenciable de dimensió 1 de ℝ^{2}? Trobeu l’obert N ⊂ M que és una subvarietat diferenciable de dimensió 1 de ℝ^{2} i que és maximal amb aquestes propietats.

6. Siguin I_{1} = ]0, 2π[, I_{2} = ]−π, π[ i

\begin{aligned}Φ_{j}: & I_{j} & ⟶ & ℝ^{2} & (j = 1, 2) \\ & t & ⟼ & (sin 2t, sin t) \end{aligned}

Considerem en E_{j} = Φ_{j}(I_{j}) la topologia induïda per Φ_{j}.

(a) Proveu que, d’aquesta manera, es pot dotar E_{1} i E_{2} d’estructura de varietat diferenciable.

(b) Coincideixen E_{1} i E_{2}, com a subconjunts de ℝ^{2}? I com a espais topològics?

(c) Proveu que E_{1} i E_{2} són difeomorfes.

7. Definim la banda de Möbius com l’espai quocient M de [0, 2π]×]−1, 1[ per la relació ∼ que identifica cada punt amb ell mateix i, a més, (0, y) ∼ (2π, −y), per a tot y ∈ ]−1, 1[. Doneu una estructura diferenciable a M.

8. Siguin M ⊂ ℝ^{n} una subvarietat i f: M → ℝ una funció real. Proveu que f és una funció de classe C^{k} sobre la varietat diferenciable M si i només si per a tot punt x_{0} ∈ M existeixen un veïnat obert U dins ℝ^{n} i una funció F: U → ℝ de classe C^{k} tals que f i F coincideixen sobre U ∩ M.

Conclogueu-ne l’enunciat següent:

Sigui F: W → ℝ una funció, on W ⊂ ℝ^{n} obert, i M ⊂ W una subvarietat; si F és de classe C^{k}, llavors F |_{M} és una funció de classe C^{k} sobre la varietat M. En particular, les funcions π^{i}: M → ℝ, π^{i}(x) = x^{i}, són C^{∞}.

9. Sigui h la funció “alçada” sobre S_{2}, h(x, y, z) = z. Proveu que és una funció C^{∞} de dues maneres diferents.

10. Siguin M ⊂ ℝ^{m}, N ⊂ ℝ^{n} subvarietats, i f: M → N una aplicació. Proveu que f és una aplicació de classe C^{k} entre les varietats M i N si i només si per a tot punt x_{0} ∈ M existeixen un veïnat obert U dins ℝ^{m} i una funció F: U → ℝ^{n} de classe C^{k} tals que f i F coincideixen sobre U ∩ M. Conclogueu-ne l’enunciat següent: Sigui F: U → V una funció, on U ⊂ ℝ^{m} i V ⊂ ℝ^{n} són oberts. Siguin M ⊂ U, N ⊂ ℝ^{n} subvarietats. Proveu que, si F és de classe C^{k}, llavors F |_{M}: M → N és de classe C^{k} entre les varietats M i N.

11. Suposeu que f: U → V és un difeomorfisme de classe C^{∞} entre dos oberts de ℝ^{n}, i sigui M ⊂ U una subvarietat. Proveu f(M) és subvarietat i que f|_{M}: M → f(M) és un difeomorfisme.

12. Proveu de dues maneres que l’aplicació antipodal h(x) = −x és un difeomorfisme de S_{n} en S_{n}.

13. Sigui T = {(x, y, z, t) ∈ ℝ^{4} | x^{2} + y^{2} = z^{2} + t^{2} = 1}.

(a) Proveu que T és una subvarietat de ℝ^{4} i doncs té una estructura de varietat diferenciable.

(b) Compareu aquesta estructura diferenciable amb la que resulta de considerar T com a la varietat producte S_{1} × S_{1}.

(c) Donats r, R ∈ ℝ amb R > r > 0, considerem la funció F: ℝ^{3} → ℝ definida per

F (x, y, z) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} − r^{2}.

Comproveu que M = F^{−1}(0) és una subvarietat.

(d) Proveu que M i T són varietats difeomorfes.

14. Siguin M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1, |z| < 1}, i F l’aplicació:

\begin{aligned}F: & ℝ^{3} & ⟶ & ℝ^{3} \\ & (x, y, z) & ⟼ & (x^{2} − y^{2}, 2xy, z) \end{aligned}

(a) Proveu que M és una varietat diferenciable.

(b) Proveu que F indueix una aplicació F |_{M} de M en M. És un difeomorfisme, F |_{M}?

15. Proveu que és un difeomorfisme de S_{2} en S_{2} la restricció a l’esfera de l’aplicació

F: ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}
(x, y, z) ⟼ (x cos z − y sin z, x sin z + y cos z, z)

16. Un grup de Lie és un conjunt G dotat amb les estructures de grup i de varietat diferenciable, i tal

que el producte i la inversió

\begin{aligned}μ: & G × G & ⟶ & G & ι: & G & ⟶ & G \\ & (g, h) & ⟼ & g h & & g & ⟼ & g^{−1} \end{aligned}

són aplicacions diferenciables.

(a) Proveu que el producte i la inversió són diferenciables si i només si ho és l’aplicació χ,

\begin{aligned}χ: & G × G & ⟶ & G \\ & (g, h) & ⟼ & gh^{−1} \end{aligned}

(b) Si G és un grup de Lie i g un element de G, proveu que és un difeomorfisme la translació per

l’esquerra, L_{g}:

\begin{aligned}L_{g}: & G & ⟶ & G \\ & h & ⟼ & g h \end{aligned}

17. Proveu que els grups següents són grups de Lie. Digueu també si són connexos i si són compactes. (a) El grup lineal GL(n, ℝ).

(b) El grup ortogonal O(2, ℝ).

(c) El grup especial lineal SL(2, ℝ).

Problemes addicionals

18. Sigui M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x, y ∈ ]0, 1[}. Per a cada s ∈ ]0, 1[ definim U_{s} = {(s, y) ∈ M}, i φ_{s} com a l’aplicació de U_{s} → ]0, 1[ que envia (s, y) a y. Digueu en què és incorrecte el raonament següent: “A M es considera l’atles {(U_{s}, φ_{s})}_{s∈]0,1[}. Evidentment, les aplicacions φ_{s} són homeomorfismes. A més, els diferents U_{s} són disjunts, per tant no cal preocupar-se del canvi de coordenades. Així doncs, hem dotat M d’estructura de varietat diferenciable de dimensió 1.”

19. Siguin U ⊂ ℝ^{m} obert, i f: U → ℝ^{p} una funció de classe C^{∞}. Proveu que U i el graf de f són varietats difeomorfes.

20. Digueu si són difeomorfes entre elles les superfícies següents: paraboloide el.líptic, esfera, paraboloide hiperbòlic, cilindre, pla, hiperboloide d’un full, pla sense un punt, mig con sense vèrtex, tor.

21. Considereu el grup especial lineal SL(2, ℝ) := {M ∈ M_{2×2}(ℝ) | det(M) = 1}

(a) Proveu que admet una estructura de varietat diferenciable de dimensió 3.

(b) Proveu que l’aplicació

\begin{aligned}F: & SL(2, ℝ) & ⟶ & ℂ \\ & ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) & ⟼ & \frac{b+a i}{d+c i} \end{aligned}

és C^{∞} i té per imatge el semiplà {z ∈ ℂ | Im z > 0}. (A ℂ es considera l’estructura de varietat diferenciable real que s’obté identificant-lo amb ℝ^{2}).

22. El grup de Lie S_{3}

Recordem primer que el cos dels quaternions de Hamilton es construeix prenent ℍ = ℝ × ℝ^{3} = ℝ^{4} amb la suma ordinària i el producte

(ξ, x)(η, y) = (ξη − x · y, ξy + ηx + x × y),

on x · y i x × y són els productes escalar i vectorial de ℝ^{3}.

Es comprova que així es defineix un cos no commutatiu amb unitat 1 = (1, 0), i que l’invers de x

és x^{−1} = \frac{x̄}{|x|^{2}} , on, si x = (ξ, x),

x̄ = (ξ, −x) |x| = (xx̄)^{1/2} = \sqrt{ξ^{2} + x · x} = ∥x∥ (norma euclidiana de ℝ^{4})

designen el conjugat i el mòdul de x. Els quaternions de mòdul 1 són els punts de l’esfera S_{3}.

(a) Proveu que S_{3} és un subgrup del grup multiplicatiu ℍ^{∗}, i que és un grup de Lie.

(b) Es consideren H^{+} = {(ξ, x) ∈ S_{3} | ξ > 0} i l’aplicació v: H^{+} → v(H^{+}) ⊂ ℝ^{3} definida per v(ξ, x) = x. Proveu que (H^{+}, v) és una carta de S_{3}.

(c) Designem per μ la multiplicació de S_{3}. Proveu que existeix un obert U ⊂ H^{+} contenint el neutre i tal que μ(U × U) ⊂ H^{+}.

(d) Calculeu l’expressió local de μ sobre U × U en la carta (H^{+}, v).

(e) Designem per ι la inversió de S_{3}. Proveu que ι deixa H^{+} invariant i calculeu l’expressió local de ι en la carta (H^{+}, v).

Indicacions i respostes

1. Si U_{1} = S_{n} − {(0, …, 0, 1)}, aleshores:

\begin{matrix}φ_{1} (x_{1}, …, x_{n+1}) = \frac{(x_{1},...,x_{n})}{1−x_{n+1}} , & (φ_{1})^{−1} (y_{1}, …, y_{n}) = \frac{(2y_{1},...,2y_{n},y_{1}^{2}+...+y_{n}^{2}−1)}{y_{1}^{2}+...+y_{n}^{2}+1} \\ φ_{2} (x_{1}, …, x_{n+1}) = \frac{(x_{1},...,x_{n})}{1+x_{n+1}} , & (φ_{2})^{−1} (y_{1}, …, y_{n}) = \frac{(2y_{1},...,2y_{n},1−y_{1}^{2}−...−y_{n}^{2})}{1+y_{1}^{2}+...+y_{n}^{2}} \end{matrix}

manera s’obté un atles format per sis cartes.

4. Considereu, per exemple, U = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} < 0, z > 0}, i ψ: U → V = ψ(U) definida per ψ(x, y, z) =

(x, y, z − \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}); és un difeomorfisme tal que ψ(U ∩ S_{2}) = V ∩ (ℝ^{2} × \{0\}). Posant H = U ∩ S_{2} i definint ϕ: H → ψ(H) ⊂ ℝ^{2} × {0} = ℝ^{2} obtenim una carta de S_{2} com a subvarietat de ℝ^{3}. D’aquesta

4 Llicenciatura de Matemàtiques — Geometria Diferencial 2. Problemes — primavera 2006

5. b) No, M no és subvarietat diferenciable. (Dibuixeu-la!)

6. b) Sí com a subconjunts, però no com a espais topològics. c) Restringiu l’aplicació F (x, y) = (x, −y).

8. Mitjançant un difeomorfisme ψ convertiu localment M en un obert d’un subespai m-dimensional; una funció sobre aquest s’estén trivialment a una funció de n variables.

10. Procediu com al problema 8.

14. b) No, no és injectiva.

17. a) Ni connex ni compacte. b) No connex, sí compacte. c) Connex, no compacte.

18. Falla una condició topològica a U_{s}.

2 Vectors tangents i cotangents

Problemes bàsics

1. Els tres camins següents compleixen que γ_{j}(0) = (0, 1, 0) =: p.

γ_{1}: ℝ ⟶  ℝ^{3}  γ_{2}: ℝ ⟶  ℝ^{3}  γ_{3}: ℝ ⟶  ℝ^{3}
t ⟼ (t, 1 + t^{2}, t)  t ⟼ (sin t, cos t, t)  t ⟼ (sinh t, cosh t, t)

(a) Comproveu que tots tres defineixen el mateix vector tangent en p.

(b) Deriveu, en p, la funció f(x, y, z) = x^{2} − y^{2} + z^{2}, respecte de cadascun dels camins.

2. Siguin F l’aplicació antipodal de S_{2}, p_{1} = (0, 0, 1), p_{2} = (0, 0, −1), p_{3} = (1, 0, 0) i p_{4} = (−1, 0, 0):

(a) Calculeu la matriu de T_{p_{3}}(F), considerant en p_{3} la carta donada per la projecció estereogràfica des del pol nord i en p_{4} la que correspon a la projecció des del pol sud.

(b) El mateix, però ara considerant en tots dos punts la primera de les cartes esmentades.

(c) El mateix per a T_{p_{1}}(F), utilitzant les cartes definides per les projeccions estereogràfiques apropiades.

(d) Interpreteu geomètricament (dibuixant el pla tangent de l’esfera dins de ℝ^{3}) les aplicacions dels apartats precedents.

3. Sigui M ⊂ ℝ^{n} una subvarietat. Justifiqueu que T_{p}(M) s’identifica a un subespai de T_{p}(ℝ^{n}) = {p} × ℝ^{n} mitjançant l’aplicació j: T_{p}M → {p} × ℝ^{n} següent: si γ: I → M és un camí C^{1} tal que γ(0) = p, i el considerem com a aplicació amb valors en ℝ^{n}, llavors j([γ]) = (γ(0), Dγ(0)).

4. (a) Sigui f: GL(n, ℝ) → ℝ donada per f(A) = det A. Proveu que d_{p}f ≠ 0 per a tot p ∈ GL(n, ℝ).

(b) Proveu que la mateixa funció, ara definida de SL(n, ℝ) en ℝ, té diferencial nul.la arreu.

(c) Sigui g: SL(2, ℝ) → ℝ donada per g(A) = tr(A). Proveu que d_{p}g = 0 si p = Id. Significa això que g té un extrem en p?

5. Considerem el grup de Lie G = SL(2, ℝ). Sigui 𝔰𝔩(2, ℝ) l’espai vectorial de les matrius 2 × 2 amb coeficients reals que tenen traça 0.

(a) Si e = Id, proveu que T_{e}(G) és un espai vectorial isomorf a 𝔰𝔩(2, ℝ).

(b) Doneu una base de T_{g}(G), on g = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ).

(c) Descriviu l’aplicació T_{e}(L_{g}) (e, g com abans, L_{g} la translació per l’esquerra) i proveu que és un isomorfisme.

6. Considerem M_{1}, M_{2} varietats, la varietat producte M_{1} × M_{2} i un punt p = (p_{1}, p_{2}) ∈ M_{1} × M_{2} d’aquesta varietat.

(a) Raoneu que podem identificar T_{p}(M_{1} ×M_{2}) amb T_{p_{1}}M_{1} ×T_{p_{2}}N_{2} mitjançant [γ] = [(γ_{1}, γ_{2})] ↦ ([γ_{1}], [γ_{2}]).

(b) Sigui N una varietat. Una aplicació F: N → M_{1}×M_{2} es pot expressar com F (q) = (F_{1}(q), F_{2}(q)). Proveu que l’aplicació F és diferenciable si i només si ho són F_{1} i F_{2}. Proveu també que, per a cada punt q ∈ N, podem identificar T_{q}F amb (T_{q}F_{1}, T_{q}F_{2}).

(c) Siguin G: M_{1} × M_{2} → N una aplicació diferenciable i v = (v_{1}, v_{2}) = ([γ_{1}], [γ_{2}]) ∈ T_{p}(M_{1} × M_{2}) un vector tangent. Proveu T_{p}G · v = T_{p_{1}}G(·, p_{2}) · v_{1} + T_{p_{2}}G(p_{1}, ·) · v_{2}.

(d) Considerem una funció diferenciable f: M_{1} × M_{2} → ℝ una funció diferenciable. Proveu ⟨d_{p}f, v⟩ = ⟨d_{p_{1}}f(·, p_{2}), v_{1}⟩ + ⟨d_{p_{2}}f(p_{1}, ·), v_{2}⟩.

Problemes addicionals

7. Sigui M una varietat diferenciable, C^{∞}(M) la seva àlgebra de funcions diferenciables, p ∈ M. Sigui F_{p} el conjunt de les funcions diferenciables definides en algun veïnat obert de p,

F_{p} = {f: U → ℝ | U ⊂ M obert, p ∈ U, f diferenciable}.

Donades f, f′ ∈ F_{p}, posarem f ∼ f′ quan existeix un veïnat obert W ∋ p tal que f i f′ coincideixen en W. Aquesta és clarament una relació d’equivalència. Les classes d’equivalència s’anomenen gèrmens de funcions diferenciables en p. Representem per [f] el germen d’una funció f. I representem per F_{p} el conjunt dels gèrmens en p (el conjunt quocient de F_{p}).

(a) Raoneu que la suma i el producte de funcions ordinàries permeten definir aquestes operacions amb gèrmens de funcions, amb les quals F_{p} és una ℝ-àlgebra.

(b) Considerem ara l’aplicació γ: C^{∞}(M) → F_{p} que, a cada funció f definida en tot M, li assigna el seu germen, f ↦ [f]. Justifiqueu que és suprajectiva. És injectiva?

(c) I considerem ara l’aplicació δ: F_{p} → T_{p}^{∗}M tal que δ[f] = d_{p}f (diferencial de f en p). Justifiqueu que està ben definida.

(d) Proveu que δ és suprajectiva.

(e) L’aplicació α: F_{p} → ℝ tal que [f] ↦ f(p) (avaluació d’un germen en p) està clarament ben definida, i de fet és un morfisme de ℝ-àlgebres. Per tant el seu nucli 𝔪_{p} = Ker α (el conjunt dels gèrmens que s’anul.len en p) és un ideal de F_{p}. A partir d’ara restringim l’aplicació δ anterior a aquest ideal, δ: 𝔪_{p} → T_{p}^{∗}M. Justifiqueu que aquesta encara és suprajectiva.

(f) Proveu que 𝔪_{p}^{2} = Ker δ, d’on es dedueix que 𝔪_{p}/𝔪_{p}^{2} ≅ T_{p}^{∗}M.

Indicacions i respostes

1. b) 0.

2. a) i c): ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ); b): ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ).

4. c) No, p és un punt de sella.

5. b) Matrius de la forma ( \begin{matrix}v_{2} + v_{3} − 2v_{4} & v_{2} \\ v_{3} & v_{4} \end{matrix} ). c) En les bases: \{ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \}

de T_{e}(G) i \{ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \} de T_{g}(G), T_{e}(L_{g}) té matriu ( \begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ).

3 Subvarietats i aplicacions

Problemes bàsics

1. Sigui F: M → N una aplicació C^{∞} de rang constant, q ∈ N un punt. Proveu que M′ = F^{−1}(q) és una subvarietat de M i que T_{p}(M′) = Ker T_{p}(F) per a tot p ∈ M′.

2. Proveu que l’aplicació c: ℝ → ℂ definida per c(θ) = e^{iθ} és una immersió. Raoneu que indueix un difeomorfisme local c: ℝ → S_{1}. Proveu que, per a cada interval obert I ⊂ ℝ tal que c|_{I} és injectiva, l’aplicació (c|_{I})^{−1}: c(I) ⊂ S_{1} → I és una carta de S_{1}.

3. Proveu que les coordenades polars ens donen cartes de ℝ^{2} adaptades a la subvarietat S_{1} ⊂ ℝ^{2}.

4. Considereu l’aplicació F: ℂ → ℂ definida per F (z) = z^{2}.

(a) Proveu que F indueix un difeomorfisme local f: S_{1} → S_{1} tal que f(p) = f(q) si i només si p = ±q.

(b) Proveu que S_{1} és difeomorfa a la recta projectiva P_{1}(ℝ). Per fer-ho seguiu els passos següents.

i. Proveu que la projecció natural π: ℝ^{2} − {0} → P_{1}(ℝ) és una submersió suprajectiva. Proveu que el mateix passa amb la restricció π: S_{1} → P_{1}(ℝ) i que, per tant, aquesta és un difeomorfisme local.

ii. Raoneu que existeix una única aplicació f_{0}: P_{1}(ℝ) → S_{1} tal que f = f_{0} ∘ π. Proveu que f_{0} és bijectiva i difeomorfisme local i, doncs, un difeomorfisme.

5. De les aplicacions que s’esmenten, digueu quines de les característiques següents posseeixen: submersió, immersió, embedding, injecció i suprajecció.

(a) L’aplicació F |_{M}, definida al cilindre, del problema 14 del tema 1.

(b) L’aplicació det: GL(n, ℝ) → ℝ.

(c) L’aplicació traça en SL(2, ℝ).

(d) L’aplicació f: ℝ → S_{1} donada per f(t) = (cos t, sin t).

(e) La injecció canònica i: S_{4} → ℝ^{5}.

6. El mètode dels multiplicadors de Lagrange Siguin V ⊂ ℝ^{n} un obert, i f: V → ℝ una funció C^{1}. Sigui M ⊂ V una subvarietat definida com a M = F^{−1}(0), on F: V → ℝ^{p} és una submersió. Sigui f_{0}: M → ℝ la restricció de f. Proveu que un punt x_{0} ∈ M és crític per a f_{0} si i només si d_{x_{0}}f és combinació lineal de les d_{x_{0}}F^{k}.

7. Subgrups de Lie Un subgrup de Lie d’un grup de Lie G és un subconjunt H que és subgrup i subvarietat.

(a) Proveu que H és també un grup de Lie.

(b) Doneu exemples de subgrups de Lie.

(c) Proveu que si H ⊂ G és un subgrup, per a comprovar que és una subvarietat basta veure-ho al voltant d’un punt (per exemple, el neutre).

8. Morfismes de grups de Lie Un morfisme de grups de Lie és una aplicació f: G → G′ entre grups de Lie que és morfisme de grups i de varietats.

(a) Proveu que f té rang constant.

(b) Proveu que Ker f ⊂ G és un subgrup de Lie.

(c) Considereu f: ℤ×ℤ → ℝ, f(m, n) = m+nθ, on θ és irracional. Comproveu que és un morfisme de grups de Lie, però que la imatge no és una subvarietat regular de ℝ.

9. El grup de Lie SL(n, ℝ)

(a) Proveu que SL(n, ℝ) ⊂ GL(n, ℝ) és un subgrup de Lie a partir de la funció determinant. Proveu també que té dimensió n^{2} − 1.

(b) Proveu que det(I + A) = 1 + tr A + o(∥A∥).

(c) Proveu que D det(I) · A = tr A.

(d) Proveu que T_{I}(SL(n, ℝ)) s’identifica amb les matrius de traça nul.la.

Problemes addicionals

10. Sigui f: ]0, +∞[ ⟶ ℝ^{2}, donada per f(t) = (t cos(1/t), t sin(1/t)). Proveu que f és un embedding, però no és una aplicació tancada.

11. Proveu que el tor S_{1} × S_{1} es pot identificar, per un embedding, amb una subvarietat de ℝ^{3}, i també amb una subvarietat de ℝ^{4} que no està continguda en cap ℝ^{3} ⊂ ℝ^{4}.

Indicacions i respostes

5. a) immersió, submersió i suprajectiva; b) submersió; c) suprajectiva; d) immersió, submersió i suprajectiva; e) immersió, embedding i injectiva.

7. c) Si x ∈ H, considereu la translació L_{x}, que és un difeomorfisme de G que aplica e en x.

8. a) Sigui x ∈ G. Observeu que f = L_{f(x)} ∘ f ∘ L_{x}^{−1} i apliqueu la regla de la cadena per a obtenir una relació entre T_{x}(f) i T_{e}(f). b) Apliqueu el problema 1. c) La imatge és densa en ℝ.

11. Considereu constants R > r > 0 i f(ϕ, θ) = ((R + r cos ϕ) cos θ, (R + r cos ϕ) sin θ, r sin ϕ).

4 Els fibrats tangent i cotangent

Problemes bàsics

1. Siguin M una varietat i N ⊂ M una subvarietat.

(a) Proveu que TN ⊂ TM és una subvarietat.

(b) Sigui X ∈ 𝔛(M) un camp vectorial tal que X_{p} ∈ T_{p}(N) per a tot p ∈ N. Proveu que la restricció de X a N defineix un camp vectorial en N.

2. Siguin M una varietat i N ⊂ M una subvarietat definida per l’anul.lació d’un sistema de lligams f^{1}, …, f^{r}: M → ℝ, linealment independents en tot punt de N. Proveu que un camp vectorial X ∈ 𝔛(M) és tangent a N si i només si L_{X}f^{j} s’anul.la en N per a tot j = 1, …, r.

3. A l’esfera S_{2}, hi considerem l’atles definit per les projeccions esterogràfiques, (U_{j}, φ_{j}), j = 1, 2, on U_{1} = S_{2} − {(0, 0, 1)}, U_{2} = S_{2} − {(0, 0, −1)}, φ_{1} = (u_{1}, u_{2}), φ_{2} = (v_{1}, v_{2}). Un camp X ∈ 𝔛(S_{2}) s’expressa sobre U_{1} com a (A u_{1} − B u_{2}) ∂/∂u_{1} + (B u_{1} + A u_{2}) ∂/∂u_{2}, on A i B són constants.

(a) Trobeu l’expressió de X en la carta (U_{2}, φ_{2}).

(b) Proveu que X s’anul.la en algun punt.

(c) Calculeu la derivada segons X, en el punt (0, −1, 0), de la restricció a S_{2} de la funció de ℝ^{3} definida per f(x, y, z) = z.

4. Siguin M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = 1, |z| < 1} i F la restricció a M de la funció de ℝ^{3} definida per F (x, y, z) = (x^{2} − y^{2}, 2xy, z).

(a) Proveu que els camps vectorials de ℝ^{3}: X = ∂/∂z i Y = −y ∂/∂x + x ∂/∂y restringeixen a camps tangents a M.

(b) Estan X i Y F -relacionats amb ells mateixos?

5. Un camp vectorial en ℝ^{n} es diu lineal si és de la forma x ↦ (x, Ax), per a certa matriu A. Denotem aquest camp per Λ_{A}. Proveu que [Λ_{A}, Λ_{B}] = Λ_{[B,A]}, on [A, B] = AB − BA designa el commutador de les matrius A i B. (En altres paraules, l’aplicació A ↦ Λ_{A} és un antihomomorfisme d’àlgebres de Lie).

6. Sigui f el difeomorfisme de ℝ^{2} definit per f(x, y) = (−y, x). Sigui X = u ∂/∂x + v ∂/∂y un camp vectorial en ℝ^{2}. Se suposa que X és invariant per f, és a dir, que f_{∗}(X) = X.

(a) Proveu que la condició de ser X f-invariant equival a u(−x, −y) = −u(x, y) i v(x, y) = −u(−y, x).

(b) Què es pot dir dels punts crítics de X?

(c) Determineu X suposant que és lineal.

(d) Doneu un exemple de X que no sigui lineal.

7. Considereu els camps de ℝ^{2}: X_{1} = (x + y) ∂/∂x − ∂/∂y, X_{2} = (y^{2} + 1) ∂/∂x + x ∂/∂y.

(a) Proveu que generen el C^{∞}(ℝ^{2})-mòdul 𝔛(ℝ^{2}).

(b) Expresseu el camp Z = (x^{2} + y^{2}) ∂/∂x + (x^{2} − y^{2}) ∂/∂y com a combinació lineal de X_{1} i X_{2}.

(c) Calculeu [X_{1}, X_{2}].

8. Considereu el camp vectorial X = −y∂/∂x + x ∂/∂y ∈ 𝔛(ℝ^{2}).

(a) Proveu que X restringeix a un camp vectorial X_{0} ∈ 𝔛(S_{1}). Proveu que X_{0} no s’anul.la enlloc i que, per tant, S_{1} és una varietat paral.lelitzable.

(b) Trobeu la relació entre el camp vectorial X_{0} i el camp vectorial ∂/∂θ corresponent a les cartes locals de S_{1} introduïdes al Problema 2 del Tema 3.

9. Siguin ω = x dy − y dx ∈ Ω^{1}(ℝ^{2}), i ω_{0} el seu pull-back a S_{1}.

(a) Proveu que ω_{0} no s’anul.la enlloc i és invariant per qualsevol gir.

(b) Existeix algun camp X ∈ 𝔛(ℝ^{2}) tal que ⟨ω, X⟩ = 1?

(c) Existeix algun camp X_{0} ∈ 𝔛(S_{1}) tal que ⟨ω_{0}, X⟩ = 1?

(d) Sigui f: ℝ → S_{1} donada per f(t) = (cos t, sin t). Calculeu f^{∗}(ω_{0}).

10. Camps invariants en un grup de Lie Sigui G un grup de Lie. Un camp Y en G es diu invariant per l’esquerra quan, per a tot g ∈ G, Y és invariant per la translació per l’esquerra L_{g}, és a dir, Y està L_{g}-relacionat amb ell mateix, T(L_{g}) ∘ Y = Y ∘ L_{g}.

(a) Fixem un vector tangent en el neutre, u ∈ T_{e}(G). Proveu que l’aplicació

\begin{aligned}X_{u}: & G & ⟶ & T(G) \\ & g & ⟼ & T_{e}(L_{g}) · u \end{aligned}

defineix un camp vectorial C^{∞}.

(b) Proveu que el camp vectorial X_{u} és invariant per l’esquerra.

(c) Deduïu-ne que tot grup de Lie és paral.lelitzable.

11. L’àlgebra de Lie d’un grup de Lie Siguin G un grup de Lie, T_{e}(G) l’espai tangent al neutre i 𝔛_{L}(G) el conjunt de camps vectorials invariants per l’esquerra.

(a) Proveu que l’aplicació 𝔛_{L}(G) → T_{e}(G) definida per X ↦ X(e) és un isomorfisme d’espais vectorials.

(b) Proveu que els camps invariants per l’esquerra constitueixen una subàlgebra de Lie de 𝔛(G). L’isomorfisme donat per l’apartat (a) permet transportar l’estructura d’àlgebra de Lie dels camps invariants als vectors tangents en el neutre. Es diu que 𝔛_{L}(G), o T_{e}(G), és l’àlgebra de Lie de G, i es denota sovint per 𝔤.

12. L’àlgebra de Lie del grup lineal El grup lineal GL(m, ℝ) és un obert de l’espai vectorial M_{m}(ℝ). Per tant la seva àlgebra de Lie 𝔤𝔩(m, ℝ) s’identifica amb l’espai vectorial T_{I}(GL(m, ℝ)) ≅ M_{m}(ℝ). Donat u ∈ M_{m}(ℝ), sigui X_{u} el camp invariant per l’esquerra definit per u (problema 16).

(a) Proveu que X_{u}(g) = (g, gu).

(b) Proveu que [X_{u}, X_{v}] = X_{[u,v]}. (En altres termes, es pot identificar 𝔤𝔩(m, ℝ) amb l’àlgebra de

Lie M_{m}(ℝ).)

13. Sigui F: M → N una aplicació de classe C^{2}.

(a) Donades cartes de M i N, calculeu la matriu de l’aplicació tangent T_{u_{p}}(TF), on u_{p} ∈ TM, en les bases de vectors tangents coordenats associades a les cartes naturals corresponents de TM i TN.

(b) Proveu que si F és una immersió (o submersió, o difeomorfisme local), aleshores TF també ho

és

14. Sigui M una varietat diferenciable.

(a) Si α ∈ Ω^{1}(M), sigui α̃: TM → ℝ la funció definida per α̃(u_{p}) = α_{p}(u_{p}). Trobeu l’expressió local de α̃ en una carta natural de TM a partir de l’expressió local de α. Proveu que α̃ és de classe C^{∞}.

(b) Si h ∈ C^{∞}(M), es defineix hT ∈ C^{∞}(TM) per hT = d̃h. Trobeu l’expressió local de hT.

(c) Doneu un exemple de funció f: Tℝ^{2} → ℝ, de classe C^{∞}, que sigui lineal en les velocitats però que no sigui del tipus hT.

(d) Sigui Y ∈ 𝔛(TM) tal que, per a tota funció h ∈ C^{∞}(M), L_{Y} hT = 0. Proveu que Y = 0.

Problemes addicionals

15. Sigui M una varietat, amb fibrat tangent TM. Proveu que π: TM → M és una submersió i que cada espai tangent T_{p}(M) és una subvarietat de TM.

16. Proveu que el fragment de con C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2}+y^{2} = z^{2}, z > 0} és una varietat diferenciable paral.lelitzable, i doneu-ne una base global de camps vectorials.

17. Siguin M una varietat i X, Y ∈ 𝔛(M). Proveu que, com a operador diferencial, en general XY ∉ 𝔛(M).

18. Donats una varietat M i X ∈ 𝔛(M), justifiqueu si és cert o fals que:

(a) Si U és un obert de M i X_{p} = 0 en tot p ∈ U, aleshores [X, Y]_{p} = 0, per a qualssevol Y ∈ 𝔛(M) i p ∈ U.

(b) Si γ: I → M és un camí i X_{γ(t)} = 0 per a tot t ∈ I, aleshores [X, Y]_{γ(t)} = 0 per a tot Y ∈ 𝔛(M) i t ∈ I.

(c) Si Y ∈ 𝔛(M), p ∈ M i X_{p} = Y_{p} = 0, aleshores [X, Y]_{p} = 0.

19. Sigui M = ℝ^{2} − {(0, 0)}. Proveu que una forma diferencial σ ∈ Ω^{1}(M) és el pull-back d’una forma de Ω^{1}(S_{1}) respecte de la projecció

\begin{aligned}π: & M & ⟶ & S_{1} \\ & p & ⟼ & p/∥p∥ \end{aligned}

si i només si és del tipus σ = f(x, y) (x dy − y dx) on f és una funció homogènia de grau −2.

20. Proveu que una forma diferencial ω ∈ Ω^{1}(S_{2}) que sigui invariant per tota rotació de l’espai ℝ^{3} ha de ser nul.la.

21. L’àlgebra de Lie de S_{3}

Considereu el grup de Lie dels quaternions ≠ 0, ℍ^{∗} = ℍ − {0}. Identifiquem T(ℍ^{∗}) = ℍ^{∗} × ℍ, de manera que donar un vector tangent en el neutre és donar un element de ℍ.

Siguin X_{0}, …, X_{3} els camps invariants de ℍ^{∗} obtinguts a partir dels vectors tangents u = (1, 0, 0, 0), …, (0, 0, 0, 1) ∈ ℍ ≅ T_{(1,0)}(ℍ^{∗}).

(a) Calculeu X_{0}, …, X_{3}.

(b) Calculeu els parèntesis de Lie d’aquests camps.

(c) Es recorda que S_{3} ⊂ ℍ^{∗} és un grup de Lie. Proveu que els camps X_{i} (i = 1, 2, 3) defineixen una base de camps invariants X_{i}^{0} per al grup de Lie S_{3}. Quins són els parèntesis de Lie d’aquests camps?

22. Proveu que tota esfera de dimensió imparella té un camp vectorial C^{∞} que no s’anul.la enlloc.

23. La hessiana d’una funció en un punt crític.

Sigui M una varietat diferenciable de dimensió m, f: M → ℝ una funció de classe C^{2}. Es diu que un punt p ∈ M és crític de f si df(p) = 0.

(a) Sigui p ∈ M un punt crític de f. Considereu l’aplicació

\begin{aligned}H_{p}f: & 𝔛(M) × 𝔛(M) & → & ℝ \\ & (X, Y) & ↦ & (X · (Y · f))(p). \end{aligned}

Proveu que H_{p}f(gX, Y) = g(p) H_{p}f(X, Y) per a tota funció g, i que és simètrica.

Deduïu-ne que

\begin{aligned}H_{p}f: & T_{p}(M) × T_{p}(M) & → & ℝ \\ & (u_{p}, v_{p}) & ↦ & H_{p}f(X, Y), \end{aligned}

on X(p) = u_{p}, Y (p) = v_{p}, està ben definida i és una forma bilineal simètrica. S’anomena hessiana de f en el punt crític p.

(b) Donada una carta (U, φ) de M al voltant de p, proveu que la matriu de H_{p}f en la base de T_{p}M definida per la carta coincideix amb la matriu hessiana de l’expressió local de f respecte a la carta en el punt φ(p).

(c) Un punt crític p de f es diu no-degenerat si H_{p}f és no-degenerada. Proveu que els punts crítics no-degenerats són aïllats (dins el conjunt de punts crítics).

(d) Una funció de Morse és una funció tal que tots els seus punts crítics són no-degenerats. Proveu que si M és compacta i f és una funció de Morse llavors f té un nombre finit de punts crítics.

(e) Considerant S_{2} ⊂ ℝ^{3}, proveu que la “funció alçada” z és una funció de Morse.

(f) S’anomena índex de Morse d’una funció f en un punt crític p la màxima dimensió d’un subespai de T_{p}M sobre el qual la hessiana és definida negativa (o sigui, el nombre de coeficients < 0 en tota reducció de la hessiana a la forma diagonal). Suposem M compacta, i f una funció de Morse. Sigui c_{k} el nombre de punts crítics de f amb índex de Morse k, i χ = c_{0} − c_{1} + c_{2} − … + (−1)^{m}c_{m}. Calculeu χ per a la funció de l’apartat anterior.

Indicacions i respostes

1. (a) Podeu suposar que N ve definida localment per F^{−1}(0), on F és una submersió. Llavors TF és també una submersió i TN n’és una fibra apropiada.

3. a) (−A v_{1} − B v_{2}) ∂/∂v_{1} + (B v_{1} − A v_{2}) ∂/∂v_{2}. b) Als pols, X s’anul.la. c) A.

4. b) X sí, Y no.

7. b) Z = \frac{y^{4}+x^{3}+y^{2}−x^{2}−x^{2}y^{2}+xy^{2}}{x^{2}+y^{2}+xy+1} X_{1} + \frac{x^{3}−y^{3}+x^{2}+y^{2}+x^{2}y−xy^{2}}{x^{2}+y^{2}+xy+1} X_{2}.

c) [X_{1}, X_{2}] = −(x + y^{2} + 2y + 1)∂/∂x + (x + y)∂/∂y.

9. (b) No. (c) Sí. (d) f^{∗}(ω_{0}) = dt.

10. a) Primer veieu que és un camp sobre un obert coordenat i després feu servir que les translacions són difeomorfismes.

c) Considereu una base (u_{i}) de T_{e}(G) i construïu amb ella una base de camps invariants.

12. b) Observeu que X_{u} és un camp lineal.

14. c) Proveu que l’expressió local de Y en qualsevol carta natural té coordenades nul.les si satisfà aquesta condició.

18. b) És fals, a) i c) són certs.

19. Feu servir els resultats del problema 8 i treballeu amb la composició de π amb la injecció canònica de S_{1} dins M.

20. Donat p, sigui q el seu antipodal. Trobeu dos girs que enviïn p a q; però X_{p} a dos vectors diferents.

21. a)

\begin{aligned}X_{0} & = & x^{0}∂/∂x^{0} + x^{1}∂/∂x^{1} + x^{2}∂/∂x^{2} + x^{3}∂/∂x^{3} \\ X_{1} & = & −x^{1}∂/∂x^{0} + x^{0}∂/∂x^{1} + x^{3}∂/∂x^{2} − x^{2}∂/∂x^{3} \\ X_{2} & = & −x^{2}∂/∂x^{0} − x^{3}∂/∂x^{1} + x^{0}∂/∂x^{2} + x^{1}∂/∂x^{3} \\ X_{3} & = & −x^{3}∂/∂x^{0} + x^{2}∂/∂x^{1} − x^{1}∂/∂x^{2} + x^{0}∂/∂x^{3} \end{aligned}

b) [X_{0}, X_{i}] = 0, [X_{i}, X_{j}] = 2X_{k}, on (i, j, k) és una permutació cíclica de (1, 2, 3).

22. Mireu els camps invariants de l’esfera S_{3} (problema 21).

5 Equacions diferencials i fluxos

Problemes bàsics

1. Siguin el camp vectorial X = (x − 2yz) ∂/∂x + (y + 2xz) ∂/∂y + 2z ∂/∂z ∈ 𝔛(ℝ^{3}), el paraboloide S d’equació x^{2} + y^{2} = z i la parametrització local μ de S donada per l’aplicació μ: U = ]0, +∞[ × ]0, 2π[ → S definida per μ(u, v) = (u cos v, u sin v, u^{2}). Proveu que X és tangent a S i trobeu el flux de X ∈ 𝔛(S), primer sobre l’obert μ(U) ⊂ S i després als altres punts de S.

2. Donats p ∈ M, X ∈ 𝔛(M) i ω ∈ Ω^{1}(M), sigui σ: I → M la corba integral de X per p. Proveu que σ^{∗}(ω) = ((ω · X) ∘ σ) dt.

3. Siguin M = SL(2, ℝ) i

\begin{aligned}Φ & : ℝ × M & ⟶ & M \\ & (t, A) & ⟼ & ( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ) A \end{aligned}

(a) Proveu que Φ està ben definida i és un grup uniparamètric.

(b) Trobeu l’òrbita que passa per la identitat, i el seu vector tangent en aquest punt.

(c) Determineu el generador infinitesimal de Φ.

4. Siguin X = y ∂/∂x, Y = (x^{2}/2) ∂/∂y camps de ℝ^{2}. Proveu que són complets, però que [X, Y] i X + Y no ho són pas.

5. Sigui X un camp vectorial de classe C^{1} en M. Per a cada p ∈ M, posem I_{p} = ]a(p), b(p)[ per a l’interval maximal de definició de la corba integral σ_{p} de X per p. Proveu les afirmacions següents.

(a) Si X té suport compacte, aleshores és complet.

(b) Si I_{p} és un interval fitat, aleshores la imatge σ_{p}(I_{p}) és un subconjunt tancat de M.

(c) Si existeix un interval ]−ε, ε[ contingut en tots els intervals I_{p}, llavors X és complet.

6. Trobeu una carta local de ℝ^{2} que redreci el camp vectorial X = −y ∂/∂x + x ∂/∂y ∈ 𝔛(ℝ^{2}) al voltant del punt (1, 0).

7. Subgrups uniparamètrics d’un grup de Lie.

Siguin G un grup de Lie i X un camp vectorial invariant per l’esquerra. Sigui γ la corba integral maximal de X tal que γ(0) = e.

(a) Proveu que ξ(t) = xγ(t) és una corba integral de X per a qualsevol x ∈ G.

(b) Proveu que γ està definida en tot ℝ. (Basta veure que si γ està definida en t_{1} i t_{2}, també està definida en t_{1} + t_{2}; a tal fi considereu el camí γ̃(t) = γ(t_{1})γ(t − t_{1}).) Conclogueu que X és complet.

(c) Proveu que γ: ℝ → G és un morfisme de grups de Lie.

Es diu que γ és un subgrup uniparamètric, i que X(e) ∈ T_{e}(G) = 𝔤 és el seu generador infinitesimal. Cal observar que la imatge γ(ℝ) ⊂ G pot no ser una subvarietat regular.

8. Siguin U = S_{2} − {(0, 0, 1)} i φ: U → ℝ^{2} la projecció estereogràfica.

(a) Si θ_{0} ∈ ]−π/2, π/2[, comproveu que una parametrització per l’arc del paral.lel de latitud θ_{0} és

α(t) = φ^{−1} (\sqrt{\frac{1 + sin θ_{0}}{1 − sin θ_{0}}} cos (\frac{t + t_{0}}{cos θ_{0}} ) , \sqrt{\frac{1 + sin θ_{0}}{1 − sin θ_{0}}} sin (\frac{t + t_{0}}{cos θ_{0}} )) ,

on t_{0} és una constant i t ∈ ℝ.

(b) Sigui X el camp que en cada punt de U − {(0, 0, −1)} és tangent al paral.lel, parametritzat per l’arc, que passa per aquell punt. Si p = (1, 0, 0), doneu un nou atles de S_{2} en un veïnat de p que rectifiqui X a un camp coordenat.

Problemes addicionals

9. Trobeu un grup uniparamètric que actuï sobre S_{2} de manera que tingui, exactament, dues òrbites que es redueixen a un punt i una altra que és una circumferència.

10. Tot camp de S_{2} té un punt crític.

(a) Justifiqueu que n’hi ha prou amb demostrar que no existeix cap camp de norma 1 (norma euclidiana de ℝ^{3}) sobre S_{2}.

(b) Suposeu que existís un X ∈ 𝔛(S_{2}) unitari. Proveu que l’aplicació definida per G_{t}(p) = p + tX(p) dóna, per a t prou petita, una bijecció entre S_{2} i l’esfera de centre l’origen i radi \sqrt{1 + t^{2}}.

(c) Sigui S_{r} l’esfera de centre l’origen i radi r, on r ∈ ]1 − ε, 1 + ε[, per a algun ε prou petit. Definim un camp X̃ ∈ 𝔛(S_{r}) fent que, per a q ∈ S_{r}, X̃(q) = ∥q∥X(q/∥q∥). Empreu X̃ per a estendre l’aplicació G_{t} a tot l’anell esfèric A = {q ∈ ℝ^{3} | ∥q∥ ∈ ]1 − ε, 1 + ε[} i doneu una fórmula que relacioni el volum de A amb el de la seva imatge G_{t}(A).

(d) Proveu que el jacobià de G_{t} en un punt q ∈ A és un polinomi en t de grau 3. Deduïu que el volum de G_{t}(A) s’expressa també com a polinomi en t de grau 3 i comproveu que això contradiu el resultat de l’apartat c), cosa que conclou, per reducció a l’absurd, la demostració.

11. Una òrbita densa en el tor.

Considereu el tor com a la varietat quocient ℝ^{2}/ℤ^{2}, és a dir, el quocient per la relació (x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2}) ⟺ x_{1} − x_{2} ∈ ℤ i y_{1} − y_{2} ∈ ℤ. Sigui el camp constant X̃ = (1, m) ∈ 𝔛(ℝ^{2}), on m ∈ ℝ.

(a) Proveu que X̃ es projecta a un camp X del tor i que aquest camp és complet.

(b) Si m = a/b, on a, b ∈ ℤ són primers entre sí i a > b, proveu que la corba integral de X és un llaç tancat que dóna a voltes al tor en el sentit dels meridians i b voltes en el dels paral.lels.

(c) Si m ∉ ℚ, proveu que la corba integral de X no és tancada. Proveu també que és una subvarietat immersa del tor.

(d) Proveu que la corba de l’apartat c) és densa al tor.

(Primer comproveu que és suficient veure que les rectes antiimatge de la corba dins ℝ^{2} tallen l’eix {y = 0} en un subconjunt dens. Després proveu que això equival a veure que (∀ ε > 0)(∃ c, d ∈ ℤ)|c − md| < ε. Justifiqueu que això es pot deduir del següent resultat d’aproximació d’irracionals per racionals: donat m irracional, existeixen successions (c_{j})_{j∈ℕ}, (d_{j})_{j∈ℕ} de nombres enters tals que d_{j} ≥ j − 2 i |m − (c_{j})/(d_{j})| ≥ 1/(d_{j})^{2}, per a tota j ≥ 2.)

12. Interpretació geomètrica del parèntesi de Lie.

Siguin X, Y ∈ 𝔛(M). Anomenarem F, G els fluxos respectius. Fixat un punt p ∈ M, per a ε prou petita definim l’aplicació c: ]−ε, ε[ → M per c(t) = G^{−t}(F^{−t}(G^{t}(F^{t}(p)))). Proveu que c(0) = p, c′(0) = 0 i c′′(0) = 2[X, Y]_{p}.

Observació: es pot reparametritzar el camí c posant γ(t) = c(\sqrt{t}). Aleshores γ′(0) = [X, Y]_{p}.

13. Equacions diferencials de segon ordre en una varietat.

Sigui M una varietat diferenciable, i Y un camp vectorial de classe C^{1} en la varietat TM. Si (x^{i}) són coordenades de M sobre un obert, i denotem per (x^{i}, u^{i}) les coordenades naturals induïdes

sobre la varietat TM, llavors Y s’expressa localment com a f^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} + g^{i} \frac{∂}{∂u^{i}}, on f^{i}, g^{i} són funcions definides en un obert de T(M). Proveu que les condicions següents són equivalents:

(a) f^{i}(x, u) = u^{i}.

(b) T(τ_{M}) ∘ Y = Id_{T(M)}.

(c) Si η: I → T(M) és qualsevol corba integral de Y, llavors η = γ̇, on γ = τ_{M} ∘ η és la seva projecció a la base M.

Es diu que Y satisfà la condició de segon ordre si satisfà qualsevol d’aquestes condicions equivalents. Justifiqueu aquesta denominació.

Problemes del tema 5 15

Indicacions i respostes

1. El flux és τ(t, (x_{0}, y_{0}, x_{0}^{2} + y_{0}^{2})) = (ke^{t} cos (k^{2}e^{2t} + h) , ke^{t} sin (k^{2}e^{2t} + h) , k^{2}e^{2t}),

k = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}, h = arctan(y_{0}/x_{0}) − x_{0}^{2} − y_{0}^{2}.

3. b) L’òrbita és σ(t) = ( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ), amb vector tangent σ′(0) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

c) X(A) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) A.

4. [X, Y] = (−x^{2}/2) ∂/∂x + (xy) ∂/∂y, i la corba integral per (x_{0}, y_{0}) només està definida dins ]−∞, −2/x_{0}[ si x_{0} < 0 i dins ]−2/x_{0}, +∞[ si x_{0} > 0. Per provar que X + Y no és complet, només cal mostrar una solució que no estigui definida en tot ℝ. Per fer-ho, cerqueu una solució de l’equació de segon ordre x′′ = x^{2}/2 de la forma x(t) = at^{k}.

12. Per la resposta dels problemes 10, 11, 12, consulteu la bibliografia.

6 Camps tensorials

Problemes bàsics

1. Siguin M una varietat diferenciable.

(a) Proveu que es pot establir una correspondència bijectiva entre 𝔗_{1}^{1}(M) i el conjunt de les aplicacions C^{∞}(M)-lineals de 𝔛(M) en 𝔛(M).

(b) Proveu que, anàlogament, per a tot r podem identificar 𝔗_{r}^{1}(M) amb el conjunt de les aplicacions C^{∞}(M)-r-lineals 𝔛(M) × ⋯ × 𝔛(M) → 𝔛(M).

(c) És un camp tensorial (1,2) l’operador L: 𝔛(M) × 𝔛(M) ⟶ 𝔛(M) que envia (X, Y) a [X, Y]?

2. Sigui M un tor a ℝ^{3}, amb la carta φ^{−1}(u, v) = ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, r sin u), on u, v ∈ ]0, 2π[, i R > r > 0 son constants. Calculeu el pull-back de la mètrica euclidiana de ℝ^{3} a M en aquesta carta.

3. (a) Donades les 1-formes de ℝ^{3} α = x dx − y dy, β = z dx + x dz i γ = z dy, calculeu α ∧ β,

α ∧ β ∧ γ, dα, dβ i dγ.

(b) Donades α_{1}, …, α_{5}, 1-formes d’una varietat, definim α_{6} = 2 α_{1} ∧ α_{3} + α_{2} ∧ α_{3} − 3 α_{3} ∧ α_{4} i

α_{7} = −α_{1} ∧ α_{2} ∧ α_{5} + 2 α_{1} ∧ α_{3} ∧ α_{4}. Calculeu α_{6} ∧ α_{7}.

4. (a) Doneu un exemple d’una forma ω tal que ω ∧ ω ≠ 0.

(b) Si ω és una forma de grau parell, proveu que la forma ω ∧ dω és exacta. Doneu un exemple en

què ω ∧ dω ≠ 0.

5. Si ω = dx ∧ dy ∈ Ω^{2}(ℝ^{2}) i F: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} ve donada per F (x, y) = (x cos y, x sin y), calculeu F^{∗}(ω).

6. Dins M = ℝ^{3} − {(0, 0, 0)} sigui ω = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{−3/2} (x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy). (a) Proveu que ω és tancada.

(b) Donats p ∈ M, u, v ∈ T_{p}(M), proveu que ω(p; u, v) = ⟨u⃗ × v⃗ | p⃗⟩/∥p⃗∥^{3}. (El símbol indica que ho considerem com a vector de ℝ^{3}.)

(c) Siguin S_{r} l’esfera de centre l’origen i radi r, p ∈ S_{r}, u, v ∈ T_{p}(S_{r}) tals que {u⃗, v⃗, p⃗} és una base ortogonal i positivament orientada de ℝ^{3} i ∥u⃗∥ = ∥v⃗∥ = 1. Proveu que ω(p; u, v) = 1/r^{2}.

(d) Siguin C un con de ℝ^{3} amb vèrtex a l’origen, p ∈ C, p ≠ (0, 0, 0), u, v ∈ T_{p}(C). Proveu que

ω(p; u, v) = 0.

7. A M = ℝ^{2} − {(0, 0)}, proveu que la 1-forma ω = (x dy − y dx)/(x^{2} + y^{2}) és tancada, però no exacta.

8. Siguin M una varietat diferenciable de dimensió n i X_{1}, …, X_{n} ∈ 𝔛(M) linealment independents en cada punt de M.

(a) Proveu que existeixen unes úniques 1-formes θ^{k} tals que θ^{k}(X_{j}) = δ_{j}^{k}.

(b) Posem [X_{i}, X_{j}] = c_{ij}^{k}X_{k}. Proveu que les 1-formes θ^{1}, …, θ^{n} definides a l’apartat anterior

verifiquen: dθ^{k} = −(1/2) c_{ij}^{k} θ^{i} ∧ θ^{j}.

9. Calculeu i_{X} dω, on X = y ∂/∂x−x ∂/∂y+∂/∂z i ω = y dx−(1/2) (x^{2} +y^{2})dz són un camp vectorial i una 1-forma de ℝ^{3}.

10. (a) Siguin M una varietat, X ∈ 𝔛(M) i ω ∈ Ω^{k}(M) una forma tancada. Proveu que ω és invariant

per X si i només si i_{X}ω és tancada.

(b) Si ara M = ℝ^{3} i ω = dx ∧ dy ∧ dz, doneu una condició sobre la divergència de Y ∈ 𝔛(ℝ^{3}) per

tal que ω sigui invariant per Y.

11. Les formes canòniques del fibrat cotangent Sigui N una varietat diferenciable, M = T^{∗}(N) el seu fibrat cotangent. Es defineix una 1-forma θ sobre la varietat M de la manera següent: donat p ∈ M i w_{p} ∈ T_{p}(M),

⟨θ(p), w_{p}⟩ := ⟨p, T_{p}(π_{N}) · w_{p}⟩,

on π_{N}: T^{∗}(N) → N és la projecció canònica.

(a) Comproveu que la definició té sentit, calculeu l’expressió de θ en coordenades naturals (x^{i}, p_{i}) i conclogueu que és de classe C^{∞}.

(b) Es defineix tot seguit en M una 2-forma exacta ω := −dθ; calculeu-ne la seva expressió local.

12. Varietats pseudo-riemannianes i camps de Killing.

Una mètrica en una varietat M és un camp tensorial g ∈ 𝔗_{2}(M) que indueix en cada T_{p}(M) una forma bilineal simètrica no-degenerada. Una varietat equipada d’una mètrica s’anomena pseudoriemanniana; si la mètrica és definida positiva es diu riemanniana. Un difeomorfisme f entre varietats pseudo-riemannianes (M, g), (N, h) es diu isometria si f^{∗}(h) = g. Si (M, g) és una varietat pseudo-riemanniana, un camp X ∈ 𝔛(M) es diu isometria infinitesimal o camp de Killing quan L_{X}g = 0. Denotarem per 𝔦(M) el conjunt dels camps de Killing de M.

(a) Proveu que X, Y ∈ 𝔦(M) ⇒ [X, Y] ∈ 𝔦(M) (o sigui, 𝔦(M) és una àlgebra de Lie).

(b) Proveu que X és un camp de Killing sii el seu flux és format per isometries.

(c) En ℝ^{2}, amb la mètrica euclidiana, proveu que 𝔦(ℝ^{2}) té dimensió 3 i admet com a generadors: ∂/∂x, ∂/∂y i −y∂/∂x + x∂/∂y.

(d) Calculeu el flux d’un X ∈ 𝔦(ℝ^{2}) arbitrari i interpreteu-lo en termes de moviments de ℝ^{2}.

(e) En ℝ^{2} es considera la mètrica (pseudo-riemanniana) de Lorentz, g_{L} = dx ⊗ dx − c^{2} dt ⊗ dt. Trobeu 𝔦(ℝ^{2}, g_{L}) i comproveu que els seus fluxos es corresponen amb el grup de Lorentz.

Problemes addicionals

13. A ℝ^{n} definim l’operador C^{∞}(ℝ^{n})-lineal ∗: Ω^{k}(ℝ^{n}) → Ω^{n−k}(ℝ^{n}) d’aquesta manera: si i_{1} < … < i_{k}, ∗ (dx^{i_{1}} ∧ … ∧ dx^{i_{k}}) = ε (i_{1}, …, i_{k}, i_{k+1}, …, i_{n}) dx^{i_{k+1}}∧…∧dx^{i_{n}}, on i_{k+1} < … < i_{n}, i ε (i_{1}, …, i_{n}) és el signe d’aquesta permutació de {1, …, n}.

(a) Proveu que, per a tota k-forma ω, ∗(∗(ω)) = (−1)^{k (n−k)} ω.

(b) Preneu n = 3: proveu que ∗(dx) = dy ∧ dz, ∗(dy) = dz ∧ dx i ∗(dz) = dx ∧ dy.

(c) Si f ∈ C^{∞}(ℝ^{3}), proveu que els components de df (en la base {dx, dy, dz}) coincideixen amb els del camp grad f (en la base dual).

(d) Si ω = f_{1} dx + f_{2} dy + f_{3} dz ∈ Ω^{1}(ℝ^{3}), proveu que els components de ∗(dω) coincideixen amb els de rot F, on F és el camp vectorial ℝ^{3} → ℝ^{3} tal que F = (f_{1}, f_{2}, f_{3}).

(e) Si ω i F són com a l’apartat anterior, proveu que ((∗)^{−1} ∘ d ∘ ∗) (ω) = div F.

14. Sigui F: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} donada per F (x, y) = (x e^{y} + y, x e^{y} − y).

(a) Proveu que F és un difeomorfisme.

(b) Calculeu F^{∗} i F_{∗} de ω = dx ∧ dy, de ∂/∂x i de ∂/∂y.

(c) Si p = (0, 1), q = F (p), calculeu (F_{∗}ω) (F_{∗}∂/∂x, F_{∗}∂/∂y) (q) i (F^{∗}ω) (F^{∗}∂/∂x, F^{∗}∂/∂y) (p).

15. Sigui S_{r} l’esfera de ℝ^{4} centrada a l’origen i de radi r > 0.

(a) Proveu que X = −y ∂/∂x + x ∂/∂y − t ∂/∂z + z ∂/∂t ∈ 𝔛(ℝ^{4}) restringeix a un camp de S_{r}, sigui quina sigui r.

(b) Siguin i: S_{r} → ℝ^{4} la injecció canònica i ω = i^{∗}(−y dx + x dy − t dz + z dt) ∈ Ω^{1}(S_{r}). Proveu que ω_{p} ≠ 0 en tot p ∈ S_{r}.

(c) Sigui F: ℝ^{4} ⟶ ℝ^{4} l’aplicació lineal que, en la base canònica, té matriu

( \begin{matrix}cos α & − sin α & 0 & 0 \\ sin α & cos α & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos β & − sin β \\ 0 & 0 & sin β & cos β \end{matrix} ) ,

on α i β són dues constants. Si G és la restricció de F a S_{r}, proveu que la imatge de G està dins S_{r} i que G és un difeomorfisme.

(d) Siguin X, ω i G com als apartats anteriors. Proveu que X, ω i dω són invariants per G.

(e) Definim G_{r} (x, y, z, t) = (rx, ry, rz, rt). La seva restricció a S_{1} és un difeomorfisme de S_{1} sobre S_{r} (no cal provar-ho). Qui és (G_{r})_{∗} (X)?

16. Sigui F: M → N un difeomorfisme entre varietats. Donat Y ∈ 𝔛(N), definim l’operador D_{Y} de 𝔗(N) en 𝔗(N) a partir de la fórmula: D_{Y} (T) = F_{∗} (L_{F^{∗}(Y)} F^{∗}(T)).

(a) Proveu que D_{Y} és una derivació en N.

(b) Proveu que coincideix amb la derivada de Lie L_{Y}.

17. Subvarietats de varietats riemannianes.

Sigui (N, h) una varietat riemanniana. Si M ⊂ N és una subvarietat i denotem per j la inclusió, proveu que g = j^{∗}(h) és una mètrica riemanniana en M. Què succeeix si la mètrica h és pseudoriemanniana?

18. Camps de Killing de S_{2}.

Es considera S_{2} amb la mètrica riemanniana induïda per ℝ^{3}. Trobeu 𝔦(S_{2}) de dues maneres diferents: parametritzant S_{2} amb coordenades esfèriques o bé cercant primer 𝔦(ℝ^{3}) i emprant el fet següent: si M és una varietat pseudo-riemanniana de dimensió m, llavors 𝔦(M) té dimensió ≤ m(m + 1)/2 (podeu veure’n la demostració dins Kobayashi & Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol 1 ).

19. Formes simplèctiques, I.

Sigui ω una 2-forma en una varietat M. Es diu que ω és no-degenerada si la forma bilineal alternada ω(p) de T_{p}(M) és no-degenerada en cada punt (per tant M és de dimensió m parella). Denotem per ω̂: T(M) → T^{∗}(M) l’aplicació ω̂(u_{p}) = i_{u_{p}}ω.

(a) Proveu que ω és no-degenerada sii ω̂ és un difeomorfisme.

(b) Si ω és no-degenerada, proveu que localment es pot escriure ω|_{U} = θ^{1} ∧ θ^{2} + … + θ^{m−1} ∧ θ^{m}, on les θ^{i} són 1-formes linealment independents en cada punt d’un obert U.

(c) Deduïu-ne que si existeix una 2-forma no-degenerada en M llavors existeix una m-forma Ω enlloc nul.la (és a dir, M és orientable).

20. Formes simplèctiques, II.

Una 2-forma diferencial ω en una varietat es diu simplèctica si és tancada i no-degenerada. Sigui (M, ω) una varietat simplèctica de dimensió 2n. Un sistema de coordenades (x^{i}, y_{i}) (1 ≤ i ≤ n) es diu canònic si localment ω s’escriu ω|_{U} = dx^{i} ∧ dy_{i}. El teorema de Darboux afirma que tals coordenades existeixen sempre (vegeu, per exemple, Libermann & Marle, Symplectic Geometry and Analytical Mechanics, o Abraham & Marsden, Foundations of Mechanics).

(a) Construïu una forma simplèctica ω en ℝ^{4} tal que les coordenades naturals siguin canòniques, i calculeu l’expressió de ω̂.

(b) Proveu que, si N és una varietat, el seu fibrat cotangent M = T^{∗}(N) està canònicament dotat d’una estructura simplèctica, per a la qual les coordenades naturals són canòniques.

21. Camps hamiltonians.

En una varietat simplèctica (M, ω), un camp vectorial X es diu hamiltonià si i_{X}ω = dh per a alguna funció h ∈ C^{∞}(M), i es diu localment hamiltonià si tot punt té un veïnat obert sobre el qual X és hamiltonià. Òbviament, tot camp hamiltonià és localment hamiltonià.

(a) Vegeu que X és localment hamiltonià sii i_{X}ω és una forma tancada.

(b) Proveu que X és localment hamiltonià sii ω és invariant per X (L_{X}ω = 0).

(c) Proveu que si X, Y són localment hamiltonians, llavors [X, Y] és hamiltonià.

(d) En ℝ^{4} amb la forma simplèctica dx ∧ dy + dz ∧ dt, digueu si són hamiltonians, localment hamiltonians o no res els camps següents: X = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z + ∂/∂t, Y = e^{x−y} (∂/∂x + ∂/∂y) + e^{z−t} (∂/∂z + ∂/∂t), i Z = x∂/∂x + y∂/∂y + z∂/∂z + t∂/∂t.

22. Parèntesi de Poisson.

Sigui (M, ω) una varietat simplèctica. Com que ω és no-degenerada, donada una funció f hi ha un únic camp X_{f} tal que i_{X_{f}} ω = df. Aquest camp és X_{f} = ω^{−1} ∘ df. Donades f, g ∈ C^{∞}(M), llur parèntesi de Poisson és la funció {f, g} := ω(X_{f}, X_{g}).

(a) Comproveu que {f, g} = X_{g} · f = −X_{f} · g.

(b) Proveu que {fg, h} = {f, h}g + f{g, h} i {f, gh} = {f, g}h + g{f, h}.

(c) Proveu que X_{{f,g}} = −[X_{f}, X_{g}].

(d) Proveu que {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 (identitat de Jacobi).

(e) Dels dos apartats anteriors es conclou que C^{∞}(M), amb el producte donat pel parèntesi de Poisson, és una àlgebra de Lie, i que l’aplicació C^{∞}(M) → 𝔛(M) donada per f ↦ X_{f} és un antihomomorfisme d’àlgebres de Lie. Trobeu el nucli i la imatge d’aquesta aplicació.

(f) En (ℝ^{4}, dx ∧ dy + dz ∧ dt), si f(x, y, z, t) = x cos θ − z sin θ i g(x, y, z, t) = y cos θ − t sin θ, calculeu {f, g}.

(g) Calculeu l’expressió del parèntesi de Poisson en coordenades canòniques (x^{i}, y_{i}).

23. Sistemes dinàmics hamiltonians.

Un sistema dinàmic hamiltonià és una terna (M, ω, H) donada per una varietat simplèctica i una funció H ∈ C^{∞}(M), anomenada hamiltoniana del sistema. Sigui X_{H} el camp hamiltonià definit per H. L’equació diferencial en M associada al camp X_{H} s’anomena equació de Hamilton.

(a) Si γ és una solució de l’equació de Hamilton i f és una funció qualsevol, proveu que d(f∘γ)/dt = {f, H} ∘ γ.

(b) Expresseu l’equació de Hamilton en coordenades canòniques.

(c) S’anomena constant del moviment una funció que és constant al llarg de les solucions de l’equació de Hamilton. Proveu que f és una constant del moviment sii {f, H} = 0, i que en particular H és una constant del moviment. Proveu també que les constants del moviment formen una subàlgebra de Lie de l’àlgebra de Lie C^{∞}(M).

(d) En la varietat T^{∗}(ℝ^{3}) amb la forma simplèctica canònica, escriviu l’equació de Hamilton de la funció hamiltoniana H(q, p) = ∥p∥^{2}/2m + V (q).

Indicacions i respostes

2. g = r^{2} du ⊗ du + (R + r cos u)^{2} dv ⊗ dv.

3. a) α ∧ β = yz dx ∧ dy + x^{2} dx ∧ dz − xy dy ∧ dz; α ∧ β ∧ γ = −x^{2}z dx ∧ dy ∧ dz dα = dβ = 0, dγ = −dy ∧ dz. b) α_{6} ∧ α_{7} = 3 α_{1} ∧ α_{2} ∧ α_{3} ∧ α_{4} ∧ α_{5}.

4. Per a a), podeu trobar exemples simples dins Ω^{2}(ℝ^{4}); per a b), dins Ω^{2}(ℝ^{5}).

5. F^{∗}(ω) = x dx ∧ dy.

8. b) Apliqueu dω_{k} a la base {X_{1}, …, X_{n}}.

9. i_{X} dω = 0.

10. b) La divergència ha de ser 0.

11. θ = p_{i}dx^{i}, ω = dx^{i} ∧ dp_{i}.

12. b) S’obtenen els girs, les translacions i llurs composicions.

c) 𝔦(ℝ^{2}, g_{L}) = {(λy+μ)∂/∂x+((λ/c^{2}) x+ν)∂/∂y | λ, μ, ν ∈ ℝ}. El flux és σ_{(x_{0},y_{0})}(s) = ((x_{0}−α) cosh(γs)+

c (y_{0} −β) sinh(γs)+α, (1/λ)(x_{0} −α) sinh(γs)+(y_{0} −β) cosh(γs)+β), on α = −νc^{2}/λ, β = −μ/λ i γ = λ/c.

14. b) Si (x, y) i (x̄, ȳ) són coordenades p i q, respectivament:

F_{∗}(ω) = −(1/2) e^{−(x̄−ȳ)/2} dx̄ ∧ dȳ; F^{∗}(ω) = −2e^{y} dx ∧ dy; F_{∗}(∂/∂x) = e^{(x̄−ȳ)/2} (∂/∂x̄ + ∂/∂ȳ); F_{∗}(∂/∂y) = (1 + (x̄ + ȳ)/2) ∂/∂x̄ + (−1 + (x̄ + ȳ)/2) ∂/∂ȳ;

F^{∗}(∂/∂x̄) = (1/2) ((e^{−y} − x) ∂/∂x + ∂/∂y); F^{∗}(∂/∂ȳ) = (1/2) ((e^{−y} + x) ∂/∂x − ∂/∂y).

c) Totes dues donen 1.

15. e) El propi X, considerat com a camp de S_{r}.

18. Llurs fluxos són la restricció a S_{2} dels girs de ℝ^{3} d’eix una recta que passa per l’origen. En esfèriques, 𝔦(S_{2}) està generada per {x_{v}, sin v x_{u} − cos v tan u x_{v}, cos v x_{u} + sin v tan u x_{v}}.

19. b) Procediu per inducció: preneu coordenades i cerqueu una forma ω_{1} = ω − α ∧ β, on α, β s’obtenen de ω per substitució respecte de camps adequats, tal que a ω_{1} hi intervenen només termes dx^{i} ∧dx^{j} amb i, j > 2.

c) Preneu ω∧ …^{m/2} ∧ω.

20. a) Preneu ω = dx ∧ dy + dz ∧ dt; aleshores, en les bases canòniques, ω̂ té matriu

( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )